Ce livre est d'une qualité exceptionnelle pour qui veut aborder l'algèbre. L'exposé est progressif et clair. Il part des notions élémentaires au chapitre I, des groupes et des anneaux aux chapitres II et III respectivement. Le chapitre IV est inhabituel et fait toute l'originalité du livre: bien que celui-ci soit destiné à des débutants (disons, de niveau L1 ou L2), les auteurs introduisent les "constructions universelles", en l'occurrence des notions élémentaires sur les catégories. Elles seront complétées au chapitre XV par la théorie des foncteurs. C'est muni de ce langage qu'aux chapitres V à IX les modules, les espaces vectoriels, les matrices, les déterminants et les produits tensoriels sont traités (attention: la matrice de passage est l'inverse de celle que l'on définit habituellement). Les transformations naturelles comme l'isomorphisme canonique entre un espace vectoriel de dimension finie et son bidual, les objets universels comme les produits tensoriels, peuvent donc être présentés dans ce langage, qui est tellement plus parlant que celui de Bourbaki! Viennent ensuite l'étude des formes bilinéaires et quadratiques au chapitre X, et au chapitre XI la théorie des modules de type fini sur les anneaux principaux commutatifs. C'est à cette occasion qu'est traitée la forme de Jordan, et je trouve qu'en effet ce résultat essentiel n'est clair qu'à la lumière de la théorie des modules. La structure des groupes est traitée au chapitre XII, permettant ainsi l'étude de la théorie de Galois au chapitre XIII. L'exposé de la théorie de Galois me paraît être une des meilleures introductions à ce beau sujet. Il se termine par le théorème de Ruffini-Abel (impossibilité de résoudre par radicaux les équations algébriques de degré supérieur à 4). Le chapitre XIV sur les treillis (avec notamment le théorème de Jordan-Hölder-Dedekind) est lui aussi excellent. Le chapitre XVI et dernier du livre est consacré à l'algèbre multilinéaire, en particulier l'algèbre extérieure, indispensable pour tous ceux qui veulent étudier le calcul tensoriel. L'appendice sur les espaces affines et projectifs ne me paraît pas inutile (surtout pour une prise de contact avec les espaces projectifs, omniprésents en Géométrie algébrique).
