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Preuves sans mots : Exercices de mathématiques visuelles [Broché]

Roger Nelsen

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Description de l'ouvrage

21 mars 2013
«Que sont des "preuves sans mots" ? Comme vous le verrez au fil de ce recueil, la question n'admet pas de réponse simple et concise. Le plus souvent, il s'agit de figures, schémas ou diagrammes qui aident le lecteur à comprendre pourquoi un énoncé mathématique particulier peut être vrai, ainsi qu'à voir comment on pourrait tenter de le démontrer. Parfois, une ou deux équations peuvent être incluses pour aider l'observateur dans sa démarche. Mais l'essentiel est de fournir des indications visuelles propres à stimuler la pensée mathématique.»

Aider le lecteur à comprendre par l'image la validité d'un énoncé mathématique : tel est donc le pari de Roger B. Nelsen dans Preuves sans mots. Le présent ouvrage, qui réunit les deux volumes originaux, est préfacé par Jean-Paul Delahaye, traduit et adapté par Jean-Marc Lévy-Leblond.

Roger Nelsen est le fondateur et le directeur du Global Consciousness Project (GCP), fruit d'une collaboration internationale de scientifiques, d'artistes, et de citoyens intéressés par les aspects extraordinaires de la conscience humaine. Depuis 1980, il coordonne des travaux expérimentaux au Princeton Engineering Anomalies Research (PEAR) à l'Université de Princeton. Spécialiste de psychologie cognitive expérimentale, il s'intéresse tout particulièrement au domaine de la perception. Il est l'auteur de nombreux ouvrages et articles en lien avec ses recherches.

Jean-Marc Lévy-Leblond est professeur émérite à l'université de Nice dans les départements de physique, de philosophie et de communication. Il est également essayiste et critique de sciences ; il a publié de nombreux articles sur ses travaux de recherche qui portent principalement sur la physique théorique et mathématique et sur l'épistémologie.

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Descriptions du produit

Extrait

Introduction de Roger P. Nelsen, Professeur émérite, Mathematical Sciences, Lewis & Clark College, Portland, OR, É.-U.

Une preuve sert moins à vous convaincre de la véracité d'un énoncé qu'à vous montrer pourquoi il est vrai.
Andrew Gleason

Une démonstration est bonne si elle nous rend plus intelligent.
Yu. I. Manin

La recherche de nouvelles démonstrations pour des théorèmes déjà correctement prouvés est motivée par le fait que les preuves existantes n'ont souvent pas de qualité esthétique. Car il existe des démonstrations mathématiques qui sont simplement probantes. Pour reprendre une phrase du grand physicien mathématicien Lord Rayleigh, elles ne font qu'«imposer la conviction». Mais il y a d'autres démonstrations, «qui séduisent et charment l'intellect ; elles plongent dans le ravissement et suscitent un intense désir de s'écrier "Amen, Amen !"».
Morris Kline

Que sont des «preuves sans mots» ? Comme vous le verrez au fil de ce recueil, la question n'admet pas de réponse simple et concise. Le plus souvent, il s'agit de figures, schémas ou diagrammes qui aident le lecteur à comprendre pourquoi un énoncé mathématique particulier peut être vrai, ainsi qu'à voir comment on pourrait tenter de le démontrer. Parfois, une ou deux équations peuvent être incluses pour aider l'observateur dans sa démarche. Mais l'essentiel est de fournir des indications visuelles propres à stimuler la pensée mathématique.
De telles preuves sont régulièrement publiés depuis quelques décennies dans les journaux à visée didactique de la Mathematical Association of America tels que Mathematics Magazine et The College Mathematical Journal. La plupart des exemples proposés dans ce livre en proviennent. On en trouve maintenant en abondance sur la Toile. Mais il ne s'agit pas d'une innovation récente - elles existent depuis longtemps. On le constatera en trouvant ci-dessous plusieurs versions modernes de preuves sans mots provenant de la Chine et de l'Inde anciennes, de la culture arabo-islamique du Moyen Âge et de l'Italie de la Renaissance.
On peut certes prétendre que les preuves sans mots ne sont pas de vraies démonstrations. Pourtant, comme le note un philosophe des sciences modernes : «Les mathématiciens, comme nous tous, chérissent les idées astucieuses ; en particulier, ils se délectent devant une figure ingénieuse. Mais cette appréciation ne va pas sans un scepticisme affirmé. Après tout, une figure est - au mieux - un cas particulier et ne peut donc fonder un théorème général. Pire, elle peut être carrément trompeuse. L'attitude dominante est donc que de telles figures ne sont guère plus que des dispositifs heuristiques : elles sont psychologiquement suggestives et pédagogiquement importantes, mais elles ne prouvent rien. Je m'oppose à ce point de vue et affirme que les figures ont un rôle légitime à jouer en tant qu'évidence et justification, bien au-delà de l'heuristique. En bref, les figures peuvent démontrer des théorèmes.»
J'espère que les lecteurs de cette collection trouveront plaisir à découvrir ou redécouvrir quelques démonstrations visuelles élégantes de certaines idées mathématiques, que les enseignants les partageront avec leurs élèves et étudiants, et que tous en seront encouragés à inventer de nouvelles preuves sans mots.

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