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Quatrième de couverture
Ce traité a marqué une date dans le progrès des mathématiques et de la physique en levant l'ambiguïté que constituaient le succès des méthodes de calcul symbolique auprès des physiciens et l'inacceptabilité de leurs formules au regard de la rigueur mathématique. Le mérite revient à Laurent Schwartz d'avoir englobé dans une théorie qui est à la fois une synthèse et une simplification, de procédés hétérogènes et souvent incorrects utilisés dans des domaines très divers. Une définition correcte et une étude systématique de ces êtres nouveaux, les distributions, leur ont donné droit de cité dans l'usage courant. Leur utilisation extensive dans de nombreuses branches des mathématiques pures et appliquées, de la physique et des sciences de l'ingénieur fait de ce livre un classique des mathématique modernes.
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2 internautes sur 2 ont trouvé ce commentaire utile
5.0 étoiles sur 5
Encore et toujours, la référence absolue sur la théorie des distributions,
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Ce commentaire fait référence à cette édition : Théorie des distributions (Broché)
Lorsque Schwartz a créé la théorie des distributions, qui lui a valu la médaille Fields, puis a rédigé la première édition de ce livre en 1950-1951, la SEE (ou son ancêtre) lui a instamment demandé de mettre sa théorie à la portée des ingénieurs. Ceux-ci utilisaient depuis longtemps déjà la "fonction de Dirac" et ses dérivées, leurs transformées de Fourier, etc., mais savaient bien qu'ils faisaient de la cuisine. Le livre de Schwartz a donc été écrit dans une perspective très pédagogique, et c'est en grande partie son intérêt. Mis à part le chapitre III sur la topologie des distributions, qui demande de bonnes connaissances sur les espaces localement convexes, et le chapitre IX, qui demande quelques connaissances sur la cohomologie des faisceaux, le livre est à la portée d'un élève-ingénieur. Schwartz traite des distributions sur R^n, puis des distributions sur le tore (au chapitre VII) et enfin des distributions tempérées, pour l'analyse harmonique. Le théorème XVI de ce chapitre étend au cas des distributions le théorème de Paley-Wiener; cette généralisation, qui caractérise les distributions à support compact, s'appelle depuis le théorème de Paley-Wiener-Schwartz. Les distributions sur le tore conduisent aux séries de Fourier. Schwartz traite ensuite des distributions à type positif, puis, succinctement, de l'application de la théorie des distributions à la résolutions des équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants (pour lesquelles il existe une "solution élémentaire"). Les distributions sont du reste admirablement adaptées à ce cadre. Il n'en va pas de même pour les équations différentielles linéaires à coefficients analytiques, et Schwartz donne au chapitre V l'exemple (V;6; 15) d'une équation différentielle homogène du premier ordre, à coefficients polynomiaux, qui n'a pas de solution-distribution non nulle. (Cette difficulté sera une des raisons d'être des hyperfonctions, qui la résout complètement.) Le chapitre VIII est un exposé de la transformation de Laplace des distributions. Cette transformation est à l'origine de tout le "calcul symbolique", que Heaviside utilisait avec succès sans bien savoir pourquoi, et est très précieuse pour les applications, en particulier à l'Automatique. Enfin, le livre se termine par les courants sur les variétés. Une distribution n'est rien d'autre qu'un 1-courant.Le livre ne comprend pas d'exercices. En revanche, il est extrêmement riche d'exemples. Il reste donc, de mon point de vue, la référence absolue sur la théorie des distributions. Il laisse ouvertes un certain nombre de questions. Par exemple, pour l'analyse harmonique, Schwartz a été amené à développer la théorie des distributions tempérées sur R^n et sur le tore. Quel est le cadre général sous-jacent? Dieudonné répond de manière pertinente à cette question dans le volume VI de ses "Eléments d'Analyse", Godement aussi dans "Analyse Mathématique IV". Mais avant d'aborder ces livres, il faut, me semble-t-il, avoir déjà lu celui de Schwartz... Aidez d'autres clients à trouver les commentaires les plus utiles
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