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Topologie et analyse fonctionnelle Broché – 14 avril 2012


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Extrait

A - Axiomes de la théorie des ensembles

Les axiomes de Zermelo-Fraenkel

Ce chapitre est un exposé élémentaire de la théorie axiomatique des ensembles ; la construction d'une théorie mathématique, telle que la théorie des ensembles, s'effectue selon des règles très précises ; un exposé systématique de ces règles ne saurait trouver leur place ici, vu les objectifs de ce cours. Nous allons nous contenter de quelques remarques assez naïves.
La construction d'une théorie mathématique T utilise des lettres et des signes. Les lettres représentent des objets ou des relations ; dans chaque théorie, les objets reçoivent des appellations particulières : par exemple, en théorie des ensembles les objets sont appelés ensembles, éléments, parties, applications, etc. Les signes comportent des signes logiques et des signes spécifiques à la théorie étudiée. Il y a trois signes logiques de base (non, ou, 3) et deux signes spécifiques à la théorie des ensembles (=, €). En écrivant les uns à la suite des autres des lettres et des signes, on construit des assemblages. Ces assemblages ne doivent pas être construits de façon quelconque ; on ne s'intéresse qu'aux assemblages qui, dans l'interprétation naïve de la théorie, représentent soit des objets, soit des relations. En d'autres termes, il faut décrire les constructions qui sont autorisées et il faut donner des règles permettant de reconnaître si un assemblage est un objet ou une relation. Ces règles ne sont que des règles de syntaxe, permettant de dire si ce que l'on écrit a, ou n'a pas, de sens ; vu nos objectifs, il ne nous semble pas utile d'expliciter ces règles, l'expérience et le bon sens étant en général suffisants.

Biographie de l'auteur

Claude Wagschal est docteur d’État ès-sciences sathématiques et professeur des Universités émérite. Ses recherches portent sur les équations aux dérivées partielles, la propagation des singularités dans le domaine complexe, les problèmes de Goursat, les problèmes fuchsiens dans l’holomorphe et les espaces de Gevrey.


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