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Contenu rédigé par Gilles Benson
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Commentaires écrits par
Gilles Benson (Beauvais, France)
(VRAI NOM)   

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Éléments de théorie des nombres
Éléments de théorie des nombres
par Roger Descombes
Edition : Broché

4.0 étoiles sur 5 mélange heureusement l'aspect algébrique et analytique, 13 juin 2016
Ce commentaire fait référence à cette édition : Éléments de théorie des nombres (Broché)
ce bouquin me paraît largement sous-estimé; il est sorti il y a 30 ans maintenant et contient à peu près tout ce qu'il est utile de connaître quand on veut aborder raisonnablement ce sujet, en commençant par les fractions continues puis les corps locaux avec une étude extensive des valuations suivi de toute la machinerie algébrique des corps de nombres pour finir avec les deux grands théorèmes concernant les nombres premiers: le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progression arithmétiques et le théorème des nombres premiers proprement dit: l'équivalent de la fonction de comptage des nombres premiers à l'infini (qui a occupé les pensées des mathématiciens du 19-ième siècle de Gauss à Hadamard). On a donc en français un livre qui traite de sujets connexes au cours de l'ENS de Serre (les formes quadratiques) et à l'opuscule de Samuel (théorie algébrique des nombres) mais qui n'a jamais atteint la même renommée que ceux que je viens de mentionner; on admirera la retenue de l'auteur qui écrit dans sa préface: "je souhaite que ce livre contribue (...) à permettre au lecteur de mieux mesurer les exigences techniques de son éventuelle passion".
Le véritable point est là: c'est une chose de faire joujou avec les nombres et s'en est une autre que d'essayer d'appréhender les concepts hautement sophistiqués qui ont mené la science mathématique au point où elle en est; une remarque: le livre ne parle absolument pas du grand problème de Fermat et n'est pas un catalogue de techniques et résultats divers et variés à la façon de Hardy et Wright mais un exposé structuré qui mérite (quand on est rétif à la langue de Shakespeare) une étude sérieuse et approfondie.


Riemann's Zeta Function
Riemann's Zeta Function
par Harold M. Edwards
Edition : Relié

5.0 étoiles sur 5 a famous function unravelled, 12 juin 2016
Ce commentaire fait référence à cette édition : Riemann's Zeta Function (Relié)
a wonderful exposition full of incredible formulae; a careful account of what Riemann could have thought of when writing his famous paper; the text contains calculations of zeta's non trivial zeroes in an old fashion way but still illuminating. Lacks schema of contours used in calculating
complex integrals but this is a very minor flaw; on the other side, one can find copies of two pages handwritten by B. Riemann which may show how casually this great genius could work and may explain why his followers had such difficulties in proving and following his ideas; the study of zeta means some herculean calculations of which Edwards gives a fine taste; this book is worth the pain to work with; one can compare his first proof of zeta's functional equation with those given in Ahlfors's "Complex analysis" or Tenenbaum's book: "Introduction to analytic an probabilistic theory of numbers"; my favourite formulae are:
1) Von Mangoldt's formula for the psi function with summation over the nontrivial zeroes of zeta.
2) the formula for the product of zeta and gamma as an improper integral and its sequel using hankel contour.
3) the Siegel-Riemann formula for Z(t), this Z function being derived from the values of zeta on the line re(z) = 1/2.
This is the very book to remove oneself on a desert island with (but don't forget a laptop to verify tha accuracy of Backlund's estimations of the fifteen first non trivial zeroes of ... zeta.
By the way, do you happen to know which are the trivial zeroes ?


Robert Campbell,... Les Intégrales eulériennes et leurs applications : étude approfondie de la fonction gamma
Robert Campbell,... Les Intégrales eulériennes et leurs applications : étude approfondie de la fonction gamma
par Robert Campbell
Edition : Relié

5.0 étoiles sur 5 la fonction Gamma en français, 12 juin 2016
j'ai utilisé ce livre il y a fort longtemps à une époque où l'enseignement des mathématiques en France se passait de tout exemple pour se restreindre à la théorie la plus désespérante; j'y ai trouvé matière à réflexion et plus encore: influencé par le travail de Carathéodory, le contenu de ce bouquin sur les nombres de Bernoulli, la formule d'Euler Maclaurin et autres m'a beaucoup aidé; je veux aussi souligner le fait qu'à l'époque on écrivait encore des mathématiques en français. Le livre étant introuvable ou bien vendu à un prix astronomique, dirigez-vous plutôt vers le maître car on peut encore trouver ses écrits en anglais Theory of Functions of a Complex Variable. (Two Volume Set)ou bien en allemand.


Calcul mathématique avec Sage
Calcul mathématique avec Sage
par Paul Zimmermann
Edition : Broché
Prix : EUR 10,92

5.0 étoiles sur 5 manuel de calcul formel, 22 avril 2016
Achat vérifié(De quoi s'agit-il ?)
Ce commentaire fait référence à cette édition : Calcul mathématique avec Sage (Broché)
pour le prix, il n'y a pas de raison de s'en priver sachant que sage est un excellent système de calcul formel


Algorithmische Zahlentheorie
Algorithmische Zahlentheorie
par Otto Forster
Edition : Broché
Prix : EUR 29,56

5.0 étoiles sur 5 très intéressant, 22 avril 2016
Achat vérifié(De quoi s'agit-il ?)
Ce commentaire fait référence à cette édition : Algorithmische Zahlentheorie (Broché)
bien que le texte soit en allemand, les choses sont assez faciles à suivre; je ne me suis pour l'instant uniquement intéressé au chapitre sur la réciprocité quadratique, ayant acheté ce livre dans le but d'étudier de plus près les sommes de deux carrés; les algorithmes proposés semblent avoir été rédigés en pascal; il reste à les tester et à mesurer leur intérêt; en tout cas, cet opuscule mérite le détour.


Prime Numbers and the Riemann Hypothesis
Prime Numbers and the Riemann Hypothesis
par Barry Mazur
Edition : Broché
Prix : EUR 23,93

2.0 étoiles sur 5 présentation bien légère, 22 avril 2016
Ce commentaire fait référence à cette édition : Prime Numbers and the Riemann Hypothesis (Broché)
les auteurs étant de mathématiciens d'un certain renom, on pouvait espérer mieux; nous avons droit à de la vulgarisation quand on attendait des maths


Pi Unleashed. : With CD-ROM
Pi Unleashed. : With CD-ROM
par Jorg Arndt
Edition : Broché

4.0 étoiles sur 5 petit problème mais contenu passionnant, 3 octobre 2012
Achat vérifié(De quoi s'agit-il ?)
Ce commentaire fait référence à cette édition : Pi Unleashed. : With CD-ROM (Broché)
les premières éditions contenaient un cd-rom de ressources; il n'est plus présent dans cette édition; Springer annonce la possibilité d'un téléchargement sur un site dédié mais l'ISBN du livre n'est pas reconnu; sinon, le contenu du livre est tout à fait sympathique.

EDIT: finalement, il est en effet possible d'accéder à du contenu en ligne, mais un CD aurait été plus simple à gérer....


Topics in Analytic Number Theory.
Topics in Analytic Number Theory.
par Hans Rademacher
Edition : Relié

5.0 étoiles sur 5 une superbe référence en théorie des nombres, 17 avril 2012
Ce commentaire fait référence à cette édition : Topics in Analytic Number Theory. (Relié)
C'est un livre qui sort du lot; écrit par un grand mathématicien Allemand du début du siècle dernier qui bien qu'il ne soit pas juif a dû fuire l'Allemagne hitlerienne du fait de ses positions en faveur des droits de l'homme et son appartenance à la Deutsche Friedensgesellschaft, et a du accepter une situation peu en rapport avec ses capacités dans une université Américaine de second rang ; c'est un livre posthume édité par Emil
Grosswald et J. Lehner dans les années qui on suivi la mort de Rademacher.
Le livre contient :

1) Bernoulli numbers and Von staudt-Clausen theorem.
2) Euler-Mac laurin formula, Gamma function and the Mellin transform.
3) Phraëgmen-Lindelöf method.
4) Riemann' Zeta function and the Prime Number Theorem, and discussion of the Riemann hypothesis.
5) Iseki formula and the Dedekind Eta function.
6) Theta functions.
7) the circle method et surtout la preuve donnée par Rademacher concernant la célèbre formule donnant le nombre p(n) de partitions d'un entier n donné (ainsi p(4) = 5 car 4 = 1 + 1 + 1 +1 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 2 + 2 = 4 et p(2) = 2 car 2 = 2 = 1 + 1) ainsi qu'une formule asymptotique pour n grand, résultats indiqués auparavant par
Hardy et Ramanujan. On peut aussi trouver la prevue de ce résultat dans le livre de T. Apostol: "Modular functions and Dirichlet series in number theory" (une autre reference ...) ou bien dans le livre de Chandrasekharan: 'Arithmetical functions' qui est presque aussi difficile à trouver que le present ouvrage'.
Rademacher ne passe pas des heures sur le théorème des nombres premiers; (par exemple, il ne discute pas la question du terme d'erreur dans le the TNP (voir pour cela 'Les nombres premiers ' de Mendes-France et Ellison par exemple) dans la mesure où son principal intérêt se trouvait être dans la théorie du nombre de partitions ; cependant, il donne un certain nombre d'outils pour travailler en théorie analytique des nombres ; on peut rapprocher cet ouvrage de son autre livre sur la théorie des nombres :

"Lectures on elementary number theory" (facile à trouver celui-ci').
En effet, dans « Topics'. », Rademacher utilise presque constamment la variable complexe, et principalement dans la preuve de sa formule avec l'emploi de calculs d'intégrales suivant des contours très sophistiqués ; à contrario, dans "Lectures on elementary ..." , il évite systématiquement l'analyse complexe bien qu'il donne une preuve du théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les suites arithmétiques : (ainsi il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1 et aussi 4n + 3 et ainsi de suite')
ainsi que du théorème de Viggo Brun sur les nombres premiers jumeaux. Un beau livre écrit par un grand homme.


Lehrgang der Höheren Mathematik. Teil IV. (=Hochschulbücher für Mathematik; Bd. 5).
Lehrgang der Höheren Mathematik. Teil IV. (=Hochschulbücher für Mathematik; Bd. 5).

5.0 étoiles sur 5 smirnov en allemand, 18 janvier 2012
ce bouquin fait partie du monumental ouvrage de Smirnov paru en français, allemand et anglais; ce tome traite des équations intégrales, des méthodes variationnelles, des équations aux dérivées partielles; en français l'ouvrage est paru aux éditions Mir; il est difficile à trouver; les éditions anglaises sont hors de prix, d'où l'intérêt de lire l'allemand (ou le russe...); l'ouvrage contient des exemples permettant de s'approprier la théorie développée au fil des lignes.


Servien,probl.anal.agreg.math.81-89                                                           121696
Servien,probl.anal.agreg.math.81-89 121696
par Servien
Edition : Reliure inconnue

4.0 étoiles sur 5 sujets d'analyse de l'agrégation externe des années 80, 18 janvier 2012
Ce commentaire fait référence à cette édition : Servien,probl.anal.agreg.math.81-89 121696
à l'époque l'un des auteurs pilotait la formation de l'agrégation externe au Cned; la réussite au concours passe d'abord par un bon écrit; ces sujets sont incontournables


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