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Théorie des ensembles
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le 1 octobre 2011
C'est probablement le livre le plus difficile à lire de N. Bourbaki. Il a de grandes qualités (c'est un très bon exposé de la théorie du "point de vue formaliste" des ensembles) et aussi des défauts. Par exemple, l'axiome du choix devient un théorème grâce au petit tau de Hilbert (on trouve un exposé plus simple de ce point dans les premières pages du magnifique "Cours d'algèbre" de Godement, qui présente du reste un exposé concis et suffisant de toute la théorie élémentaire des ensembles). Néanmoins, s'il est clairement démontré que l'axiome, ou "théorème" du choix implique le Lemme de Zorn, la réciproque n'est pas abordée (voir à ce sujet, par exemple, le premier chapitre du livre "Analyse I" de L. Schwartz). Le théorème de Gödel et le problème de non-contradiction ne sont évoqués, assez brièvement, que dans les Notes historiques.
Le plus gros défaut du livre est le chapitre IV sur les structures. Cette partie est extrêmement lourde, et surtout passe complètement à côté de la théorie des catégories. Cette dernière aurait certes mérité un livre entier du Traité. Néanmoins, les bases catégoriques indispensables auraient dû, à mon avis, figurer en lieu et place de l'exposé sur les "structures". L'absence totale de la notion de catégorie (donc de celle de foncteur) "plombe" la suite du traité, ou en tout cas oblige à des contorsions pénibles pour éviter (pas toujours d'ailleurs) d'utiliser le langage si naturel des catégories. Le livre sur les EVT fait abondamment appel à la notion de "morphisme strict" (autrefois appelé "homomorphisme"). A quoi est dû ce changement de terminologie, sinon (dans le non-dit) le fait que la théorie des catégories a définitivement pris le pas sur l'approche "structuraliste" bourbachique? Et quelle peut être la signification profonde de ce vocable "morphisme strict" pour quiconque ignore tout des catégories (et le fait que la catégorie des EVT est additive mais non abélienne)? De même, le Chapitre X du livre d'Algèbre (Algèbre homologique) souffre cruellement de ce manque qui oblige à restreindre le cadre à celui des modules.
Un autre choix était possible, tel celui fait par MacLane et Birkhoff dans leur livre (remarquable et accessible au débutant) "Algebra".
Ceci n'est pas une condamnation du Traité de Bourbaki, qu'il semble de bon ton de dénigrer aujourd'hui. Bien au contraire: ce Traité est le monument construit par le Groupe Bourbaki qui est à l'origine de l'extraordinaire efflorescence des mathématiques françaises d'après-guerre. Dans son ensemble, le Traité reste une référence incontournable et le sera encore probablement longtemps. Mais le parti pris de Bourbaki d'ignorer les catégories (largement dû à l'influence d'André Weil, par ailleurs mathématicien excellent et homme très cultivé, alors pourtant que des spécialistes des catégories, comme Eilenberg puis Grothendieck, comptaient parmi les premiers membres du Groupe) est en quelque sorte le "péché originel" dans le Traité.
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le 16 juillet 2010
Ce livre est le premier de la série des "Eléments de Mathématiques"; il commence par décrire la mathématique formelle, ensuite la théroie des ensembles, puis les ensembles ordonnés, cardinaux, des nombres entiers, enfin les structures et isomorphismes et autres morphismes. Comme tous les ouvrages du groupe Bourbaki, celui-ci ne déroge pas à la règle et est donc extrêmement abstrait ; ce n'est donc pas un ouvrage pour débutants en mathématiques : Le style Bourbaki est très âpre ! Néanmoins si vous vous sentez motivé, c'est dans cet ouvrage que vous trouverez la première définition "sérieuse" et la vulgarisation des quantificateurs "pour tout" et "il existe", l'utilisation systématique des opérateurs "implique" et autre en logique, les "structures", etc... De plus, tous les théorèmes sont démontrés ! Ce traité est donc auto-suffisant. Contient des exercices et quelques notes historiques.
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