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le 21 juin 2013
Il est difficile de trouver un livre de Géométrie Différentielle pleinement satisfaisant, car certains sont trop abstraits et manquent de motivations (à la manière d'un fascicule de résultats à la Bourbaki, et plus récemment les livres de Serge Lang), tandis que d'autres (comme Spivak, A comprehensive introduction to Differential Geometry) manquent de concision et se perdent un peu en discussions. La force du livre de Berger et Gostiaux est de comporter presque toutes les preuves (sauf quelques unes de cohomologie), de présenter des exercices nombreux et instructifs, mais surtout d'être particulièrement rigoureux et précis (défaut courant des auteurs de Géométrie Différentielle qui prétendent écrire tout en notations "internes" mais qui ne donnent pas ainsi un aperçu de la rédaction pour résoudre proprement les exercices). De plus, une partie sur les densités permet de combler les lacunes de bien des ouvrages qui se contentent de ne parler que de variétés orientables.

Ici, chaque définition ou presque est suivie d'un exemple ou d'un exercice à la fin du chapitre, ce qui permet d'assimiler de manière quasi linéaire les concepts, pour peu qu'on se donne la peine de faire (tous!) les exercices. D'autre part, les preuves sont souvent élégantes, et l'on n'oublie pas la géométrie soit disant "élémentaire" des courbes et surfaces auxquelle sont consacrés les deux derniers chapitres, car il est tout de même assez plaisant de pouvoir calculer rigoureusement les aires et volumes des variétés de l'espace euclidien standard.

C'est une excellente référence que tout étudiant de maîtrise devrait posséder, car cette théorie apparaît dans presque toutes les branches des mathématiques, et se justifie pleinement par son formalisme grâce aux nombreuses applications spectaculaires qui sont montrées dans ce livre : inégalité isopérimétrique, théorèmes de Brouwer, théorème d’Archimède...
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le 30 mai 2015
J'ai beaucoup aimé le cheminement naturel et narratif des démonstrations, quand elles étaient là, qualités très indispensables en mathématiques aussi.
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